第73章 数学直觉vs无穷算力

“令xk=cos(2πk/n)

利用二倍角公式：cos(2θ)=2cos2θ-1

將特徵值因式分解，可得

λk=4-2xk-2(2xk2-1)

=6-2xk-4x_k2

=-4(xk-1)(xk+3/2)”

“beautiful！”

田港院士和博切尔兹教授对视一眼，纷纷讚嘆，“把超越函数的连乘，转换成代数多项式的连乘？”

齐物的解答仍在继续：

“n(k=1→n-1)[z-cos(2πk/n)]=[tn(z)-1]/[2^(n-1)?(z-1)]”

將z=-3/2代入，经过简单的正负號合併，原本需要计算一百亿次的十万阶矩阵行列式，在齐物的笔下，瞬间坍缩成了一个乾净优美的纯代数形式：

t(g)=(2/5)?[tn(3/2)-1]

“嘶——”

“切比雪夫多项式根恆等式!”

“什么不等式？”

“把十万个节点的图论问题，转变成了一个求第一类切比雪夫不等式t100000(3/2)的问题。”

“可是这看起来还是很复杂啊，能手算出来吗？”

“感觉还是很难……”

齐物看了一眼倒计时，还剩10分30秒。

足够了。

“切比雪夫多项式满足线性递推关係……”

他喃喃自语，在平板上列出一个2x2的状態转移矩阵，隨后直接利用算法竞赛里常见的“矩阵快速冪”。

对於十万次方，快速冪只需要log?(100000)≈17次矩阵乘法即可！

也就是17次二阶矩阵的乘法和取模。

齐物笔走龙蛇，在草稿纸上飞快计算加减乘除和模998244353的运算。

11分20秒。

12分10秒。

12分50秒。

齐物在答题器上输入最后九个数字，按下回车。

“叮！”

【齐物作答完毕，用时13分01秒。】

【最终答案：745281932。】

和ai的一模一样。

“代数几何同构映射！”

博切尔兹讶声道，“这个齐物的数学直觉有点无敌啊，我看资料上写他只是一个高中生，amazing！”

一旁的田港院士点头道：“思路很妙，齐物其实是把十万个图论中的离散拓扑节点，强行拉升到了一个代数曲线的模空间上。”

张益唐教授笑道：“相比於齐物的方法，ai的確是有些丑陋了。”

“不知道这个齐物钟情於哪个大学？”

“如果不是亲眼所见，我绝不相信一个17岁的高中生能有这种数学直觉。”

“ai：我算了一百亿次。

齐物：我画了个代数曲线当衝动就直接钻过去了，哈哈。”

隨著齐物成功破局，其他几何人类天才同样展现出强大的实力。

第16分40秒，普林斯顿的john chen利用代数数论中的分圆域性质，殊途同归，成功提交答案。

第17分15秒，燕大韦东利用生成函数与形式冪级数展开，成功解出。

隨后，刘一凡、李明泽也赶在20分钟的红线前，满头大汗地敲下了正確答案。

只有水木大学的赵子贤还在与数据搏斗。

他找对了方向，成功推导出了那个线性递推方程，但在最后利用特徵根公式求解时，由於要在模998244353意义下进行二次剩余（即求平方根）的计算，他在手算tonelli-shanks算法时，一个微小的取模借位出现了致命的失误。

“滴——”

倒计时归零。

赵子贤的手僵在键盘上，屏幕上他最后敲入的答案“745281910”，距离正確答案仅仅谬之毫釐。

【赵子贤，计算错误，本轮淘汰。】

人类阵营，仅剩五人。